"Att man prövar nya vägar bevisar att fienden har fått i uppdrag att till varje pris inta staden", säger Vitalij Barabasj, chef för stadens militäradministration till statliga medier.
Ryssland har sedan oktober intensifierat de omfattande angreppen mot Avdijivka.
Från Cherson-regionen i östra Ukraina rapporteras samtidigt om intensivt ryskt bombardemang. 117 bombanfall, där två civila har dödats och åtta skadats, har genomförts av Ryssland under det senaste dygnet, enligt Oleksandr Prokudin, militär ledare i länet, rapporterar ukrainska medier.
Prokudin hävdar att ryssarna tycks ha haft bland annat bostadsområden som mål, vilket i så fall kan utgöra ett krigsbrott.
I regionen Voronezj rapporteras en rysk general ha dödats, det uppger regionens guvernör på måndagen, skriver AFP.
"Generalmajor Vladimir Zavadskij, ställföreträdande befälhavare för den 14:e armékåren i den norra flottan, dog i tjänsten i en zon där en specialoperation pågick", skriver Voronezj guvernör Aleksandr Gusev på Telegram.
Guvernören specificerar inte hur Zavadskij dödades. Enligt uppgifter i Telegram-kanaler med källor i armén ska han ha dött efter att ha trampat på en mina.