Trump skriver att de nya sanktionerna är de mest effektiva hittills och han pekar på att de i november ska skruvas upp ytterligare.
Sanktionerna träder i kraft sedan USA beslutat lämna kärnenergiavtalet med Iran från 2015.
I Moskva kritiserar det ryska utrikesdepartementet Trumps åtgärder.
"Vi är djupt besvikna över USA:s steg att återinföra sena nationella sanktioner mot Iran", skriver departementet i ett uttalande.
"Intressen ska skyddas"
Departementet klargör också att Ryssland ska göra "allt nödvändigt" för att kärnenergiavtalet ska överleva samt att ryska ekonomiska intressen i Iran ska skyddas.
Även de övriga undertecknarna – Frankrike, Storbritannien, Kina och Tyskland – står fast vid avtalet. Och EU har svarat på Trumps hot med att införa en uppdaterad blockeringsförordning som innebär att europeiska företag och personer förbjuds från att följa USA:s sanktioner. EU-lagstiftning om rättsliga åtgärder som bygger på amerikanska sanktioner inte ska vara giltiga kommer att uppdateras, har det tyska utrikesdepartementet klargjort.
Irak emot sanktioner
Iraks premiärminister Haidar al-Abadi konstaterar vid en presskonferens att landet av princip är emot sanktioner i regionen.
- Blockader och sanktioner förstör samhällen men försvagar inte regimer, säger han.
al-Abadi ger dock inget tydligt besked om hur Irak, som är allierat med både USA och Iran, kommer att agera utifrån det amerikanska sanktionsbeskedet.
Irans utrikesminister Mohammad Javad Zarif har sagt att USA är isolerat i sin fientlighet mot Iran.
Fakta: Iranavtalet
Kärnenergiavtalet JCPOA undertecknades 2015 av Iran och vad som kallas "P5+1" – det vill säga de fem ständiga ledamöterna i FN:s säkerhetsråd (USA, Frankrike, Storbritannien, Kina och Ryssland) samt Tyskland. I och med avtalet ges insyn i Irans atomenergiprogram för att undvika att landet utvecklar kärnvapen, samtidigt som tidigare FN-sanktioner lättas upp.
Den 8 maj beslutade USA:s president Donald Trump att säga upp avtalet. Samtidigt flaggas för eventuella USA-sanktioner mot länder och företag som handlar med Iran. De tre undertecknande EU-länderna samt resten av EU vill emellertid hålla fast vid JCPOA. Det kommer också Ryssland och Kina att göra.