Tvisten handlar om huruvida regeringen kan expropriera huset från ägarinnan Gerlinde Pommer.
Den blivande naziledaren föddes i byggnaden i Braunau am Inn vid tyska gränsen 1889.
Myndigheterna har försökt köpa huset, men ända sedan 1950-talet fått nöja sig med att hyra det. Hyran uppges numera ligga på 5000 euro i månaden. Tanken är att göra om det och använda det till social verksamhet, med det bakomliggande syftet att minimera risken för att byggnaden kan bli vallfärdsort för extremister.
Verfassungsgerichtshof (Författningsdomstolen) i Wien inledde överläggningar i fallet på torsdagen. Processen väntas ta några veckor.