Kurz meddelade avgången i ett tv-sänt uttalande på lördagskvällen, då han sade sig vilja dra sig undan "för att undvika kaos".
– Vi behöver stabilitet, sade den 35-årige ledaren för det konservativa partiet ÖVP.
Han bedyrar samtidigt sin oskuld och förnekar anklagelserna som riktas mot honom.
En utredning granskar om Kurz och hans medarbetare har tagit skattepengar från finansdepartementet via falska fakturor, för att finansiera friserade opinionsundersökningar, skriver österrikiska Die Presse.
– Jag kommer att kunna förklara detta, det är jag säker på, sade han lugnt i sitt framträdande, och upprepade att anklagelserna mot honom är "falska."
Husrannsakningar gjordes
Flera husrannsakningar genomfördes mot bland annat förbundskanslerns kansli i Wien i onsdags. Husrannsakningar gjordes också mot finansdepartementet, ÖVP:s högkvarter och hos flera personer i Kurz närhet.
Utredningen inleddes efter tillslagen. Bakgrunden till tillslagen skulle visa sig vara misstankar mot Kurz och nio andra personer som rör mutbrott, bestickning och trolöshet.
Kurz väljer, enligt egen utsago, att vara kvar som partiledare för ÖVP, samt att sitta kvar i landets parlament.
Fortsatt samarbete
Partiet De grönas ledare Werner Kogler, som också är vice förbundskansler i regeringsbildning med ÖVP, hade begärt en misstroendeomröstning efter tillslagen mot Kurz. Kogler bad i fredags ÖVP att hitta en ny förbundskansler, då "Kurz inte längre är lämplig för posten".
De gröna verkar godkänna valet av Schallenberg. Kogler antydde sent på lördagen att regeringssamarbetet med ÖVP också lär kunna fortsätta efter Kurz beslut.
Konservativa ÖVP och Socialdemokraterna (SPÖ) regerade tillsammans i början av 2017. När ÖVP:s partiledare avgick i maj 2017 tog den unge Sebastian Kurz över, och samarbetet med SPÖ förklarades avslutat. Han gjorde stora förändringar av ÖVP, som snabbt gick från en tredje- till en förstaplats i opinionssiffrorna.
I nyvalet hösten 2017 vann ÖVP stort och Kurz gav högerpopulistiska FPÖ chansen till ett regeringssamarbete. Men efter att en skandalvideo från Ibiza med FPÖ-ledaren och vicekanslern Heinz-Christian Strache avslöjats sprack regeringen i maj 2019. Strache avgick också från partiledarposten.
I nyvalet hösten 2019 fick ÖVP 37,5 procent av rösterna och De gröna 13,9 procent, vilket ledde fram till regeringsförhandlingar. FPÖ fick 16,2 procent och backade nästan 10 procentenheter jämfört med valet 2017. Socialdemokraterna fick 21,2 procent, även det en minskning jämfört med föregående val.