Arbetet har kunnat sätta igång sedan president Sergio Mattarella efter några dagars betänketid på onsdagen godkände Conte på posten.
Premiärministerkandidaten hoppas kunna presentera sina ministrar "inom de närmsta dagarna" – en lista som också den måste få grönt ljus av Mattarella, innan den kan ställas inför omröstning i parlamentet.
Enligt uppgifter i italienska medier kommer Legas ordförande Matteo Salvini föreslås som inrikesminister medan MS5-ledaren Luigi Di Maio tilldelas chefsposten vid departementet för ekonomisk utveckling.
Det regeringsprogram som de enats om innehåller bland annat såväl skattesänkningar som medborgarlön, liksom löften om omfattande insatser för att kasta ut papperslösa migranter.
EU har uttryckt oro för att Italien, genom ett vidlyftigt spenderande, riskerar att utlösa en ny kris inom eurozonen, där landet är den tredje största ekonomin. Di Maio och Salvini hävdar å sin sida att deras reformer kommer att främja tillväxten.
Juridikprofessorn och advokaten Guiseppe Conte, fram till nu relativt okänd i Italien, slår dock an en försonande ton vid en presskonferens vid presidentpalatset.
- Jag är medveten om nödvändigheten i att befästa Italiens plats, såväl i Europa som internationellt, säger han.